Комитет по образованию администрации г. Улан-Удэ
МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»
Городская научно-практическая конференция
«Обыкновенное чудо»
Секция: «Математика»
Задачи с экономическим содержанием на проценты
Выполнила: Сигачева Валерия Романовна,
учащаяся 7 класса «д»
МАОУ «СОШ №37».
Научный руководитель:
Днепровская Татьяна Николаевна,
учитель математики
МАОУ «СОШ №37».
Улан-Удэ
2020
Введение
Задачи разные на свете существуют,
И способов решенья много к ним.
В работе данной тема нас волнует:
«Как экономику понять
И научиться задачи решать.»
Не просто задачи, не просто примеры
Ведь всё на проценты решать нужно смело.
Давайте сейчас же мы все разберем
И тему эту трудную мы вместе все поймём!
Объект исследования: Задачи с экономическим содержанием на проценты
Предмет исследования: ученики 7-х классов МАОУ «СОШ №37»
Цель исследования: обобщить методы решения задач с экономическим содержанием как базового, так и повышенного уровня сложности;
• сформировать у учащихся навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;
• показать учащимся необходимость изучения процентов для применения их в реальных практических ситуациях.
• облегчить работу учителя по подбору задач экономического содержания
Задачи исследования:
1.Изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;
2.Рассмотреть разные типы задач с экономическим содержанием на проценты
3.Рассмотреть различные способы решения задач.
Гипотеза: существует множество видов задач с экономическим содержанием на проценты и способов их решения, которые пригодятся в повседневной жизни.
Глава I
Теоретическая часть
- История экономики
Термин «экономика» ввел в научный оборот выдающийся философ Древней Греции Аристотель (384-322 гг. до н. э.), составив его из двух греческих слов «эйкос» — хозяйство и «номос» — закон. Поэтому «экономика» в переводе с греческого означает «законы хозяйства». Первоначально под словом «экономика» понималось искусство ведения домашнего хозяйства.
Семья выполняет важнейшую экономическую функцию. Совместно проживающие супруги, их дети и родители не просто объединяются для совместного проживания, но и решают важные экономические задачи. Семья находится в постоянных связях с государственными учреждениями, предприятиями и фирмами. Она является важнейшим поставщиком рабочей силы для предприятий и фирм, которые в свою очередь выплачивают им заработную плату, различные социальные пособия, пенсию. Домашние хозяйства являются основными потребителями товаров и услуг, поставляемых предприятиями и частными лицами.
- История возникновения процента
Процент — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.
Слово «процент» происходит от лат. «procentum», что означает в переводе «сотая доля» . В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.
- Задачи с экономическим содержанием
Экономические задачи- задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных. В отличие от математических, Э.з. не всегда удается формализовать, свести только к расчету. Их решение сопровождается поиском.
Глава II
Экономико-математические модели
2.1. Простейшие задачи на проценты.
Для того, чтобы решать задачи с экономическим содержанием, необходимо понимать, что такое процент, уметь производить процентные расчеты.
Процент – сотая доля целого (принимаемого за единицу); обозначается знаком «%».
Поэтому процентом (от) какого-либо числа называется сотая часть этого числа.
При решении задач на проценты необходимо помнить:
1)Как выразить число в процентах?
Чтобы выразить число в процентах достаточно умножить его на 100 и поставить знак %
Пример: 4 = 4∙100%=400%; = 0,75 = 0,75∙100% = 75%
2)Как выразить проценты в виде десятичной дроби?
Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби достаточно число процентов разделить на 100
Пример: 300% = 300:100 = 3;
36, 7% = 36,7:100 = 0,367;
9% = 9:100 =0,09
Пусть число а составляет k % от числа b ( k называется процентным отношением числа а к числу b).
Чтобы найти проценты от данного числа, надо:
1)выразить проценты в виде дроби;
2)умножить данное число на эту дробь.
Запишем это формулой: 
Чтобы найти проценты от числа, надо число процентов выразить десятичной дробью, а затем найти дробь от числа.
При определении процента от числа следует помнить, что:
1) Если процент меньше 100 % , то число, полученное в результате вычислений, должно быть меньше заданного числа;
2) Если процент больше 100%, то число, полученное в результате вычислений, должно быть больше заданного числа.
Следовательно, при вычислении процента от числа для самоконтроля нужно проверить:
- Заданный в условии процент больше или меньше 100 %;
- Результат вычисления больше или меньше числа, от которого находится процент.
Чтобы найти число по данным его процентам, надо:
1)выразить проценты в виде дроби;
2)разделить данное число на эту дробь.
Запишем это дробью:
Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби и
решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.
При определении числа по его проценту следует помнить, что:
- Если процент меньше 100%, то число, полученное в результате вычислений, большезаданного числа;
- Если процент больше 100%. то число, полученное в результате вычислений, меньшезаданного числа.
Следовательно, при вычислении числа по его проценту для самоконтроля нужно проверить:
заданный в условии процент больше или меньше 100%;
вычисления больше или меньше
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо:
1)найти отношение этих чисел;
2)умножить это отношение на 100 и приписать знак %.
Запишем это формулой:
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение этих чисел ивыразить его в процентах
При сравнении двух величин та, с которой производится сравнение, — базовая величина, и онапринимается за 100%. В задачах на проценты сначала следует понять, какая величинапринимается за 100%.
2.2 Пропорциональное деление величины
Чтобы разделить число А на части, прямо пропорциональные данным числам a,b,c (разделитьв данном отношении a:b:c), надо разделить это число на сумму данных чисел и результатумножить на каждое из них:
, отметим, что
Чтобы разделить число А на части, обратно пропорциональные данным числам a,b,c, надо разделить это число на части, прямо пропорциональные числам
Пусть требуется найти, в каком процентном соотношении находятся числа а,в и с. В этомслучае необходимо определить, какой процент составляет каждое число по отношению к суммеэтих чисел. Пусть— искомые проценты, тогда
Отметим, что
2.3 Процентное изменение величины.
Задачи на процентное изменение величины уже нельзя отнести к простейшим. Они решаются внесколько действий. В большинстве случаев эти задачи удобно решать с помощью формул.
В данном пункте можно выделить три задачи (прямая и две обратные), которые имеются в задании № 1 КИМов.
Пусть в задаче требуется определить число а, большее числа b на p%.
Это условие записывают формулой или кратко
В случае, если число а меньше числа b на p%, используется формула:
Пусть некоторая величина А, меняющаяся со временем, имеет в начальный момент
значение, а через известный промежуток времени значение . Обозначимпроцентный «прирост» (увеличение или уменьшение) величины А через р%. Длянахождения через и р используются формулы:или
Было сделано дома☺☺☺
Формулы процентного «прироста»:
a) при увеличении величины А:(%)
б)при уменьшении величины А:
Последние формулы можно прочитать так: из большего числа вычитаем меньшее число и делим на исходное число, затем умножаем на 100 и ставим знак процента.
Следует запомнить:
- Если значение а выросло на p%, то новое значение будет
- Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет
- Если А больше В на p%, то ;
Выразим из последней формулы p:
; ;
Эта формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.
- Если В меньше А на q%, то
;
Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим
Однако, если А больше, чем В на p%, то это не означает, что В меньше А на p%.
2.4 Проценты и соотношения между величинами.
В некоторых задачах величины связаны формулой и необходимо ответить на вопрос, как процентное изменение одних величин влияет на процентное изменение других велечин.
Пример. За некоторый период времени у господина Иванова количество акций увеличилось на 15%. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций господина Иванова, если цена каждой акции увеличилась на 20%?
Решение. Пусть – цена одной акции, n – количество акций, · n – общяя стоимость акций. Эти величины связаны формулой S = · n.
Составим таблицу:
|
Цена одной акции |
Количество акций |
Общая стоимость |
|
|
Было |
|
n |
|
|
Стало |
1,2 |
1,15n |
1,38 |
Можно сразу сделать вывод: общая стоимость акций S увеличилась в 1,38 раз, поэтому стоимость акций увеличилась на 38%.
Или, используя формулу процентного «прироста», находим искомую величину:
100=38(%)
Ответ: 38%
2.5 Формула простых процентов
В зависимости от способа начисления процентов (от выбора базы начисления) выделяют два основных вида процентов: простые и сложные.
Если величина А через равные промежутки времени имеет процентный прирост p только на первоначальное значение , то в момент времени = её значение будет равно:
)- формула простых процентов.
Формулу простых процентов используют, например, при начислении штрафов. Также удобно применять начисление простых процентов тогда, когда по истечении каждого года вкладчик снимает со своего счета проценты, начисленные за этот год.
2.6 Формула сложных процентов
Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение того или иного товара! В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играют важную роль в экономике страны и каждой семьи.
Если величина А через равные промежутки времени будет иметь процентный прирост p и процент будет начисляться на измененную величину, то в момент времени = её значение будет равно:
—формула cложных процентов,
где знак «+» или «-» ставятся в соответствии с тем, к чему приводит «прирост» — к увеличению или уменьшению величины.
3.Сюжетные задачи.
Сюжетные математические задачи являются моделями жизненных ситуаций, связующим звеном между разнообразными сюжетами реального мира и строгими формами математических выражений и операций. Сюжетные математические задачи являются полигоном для 40 распознавания проблемных ситуаций, возникающих в окружающей среде, которые можно решить математическими средствами. Таким образом, формируя общие способы и методы решения сюжетных математических задач мы учим детей определенным образом действовать, на основе математических знаний, в ситуациях, возникающих в повседневной жизни.
Методы решения сюжетных задач.
Сюжетные задачи многими людьми, окончившими школу, вспоминаются как самые трудные. Для того чтобы понять, в чем состоит сложность решения этих задач, необходимо проанализировать собственный опыт их решения.
В каждой сюжетной задаче можно выделить:
1. числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);
2. некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
3. требование или вопрос, на который надо найти ответ.
Существуют различные методы решения данного класса задач:
1.арифметический метод;
2.алгебраический метод;
3.функционально-графический метод решения текстовых задач;
Сюжетные задачи с экономическим содержанием, встречающиеся в КИМах чаще всего это задачи на кредиты и вклады. Решая сюжетную задачу надо четко понимать ее математическую модель.
Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.
Заключение.
Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.
Литература.
1. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций, СПб.: Союз, 1999.
2. Прокопьев А.А., Корянов А.Г. Социально – экономические задачи. «Легион». Ростов на Дону,2016
3. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методическое пособие / Н.А. Малахова, В.В.Орлов, В.П.Радченко, В.Е.Ярмолюк; под ред. к.п.н., доц. Радченко, к.п.н. В.В.Орлова. С. Петербург: «Образование», 1992
4. А.А. Прокофьев, А.г. Корянов. «Социально-экономические задачи»
5. Интернет-ресурсы
Работа, представленная на фестиваль
Экономико-математические задачи на проценты в бизнесе
Раздел:
Математика
Учебный год: 2009 / 2010
Коллектив авторов:
- Каширина Дарья Кирилловна
- Кирьянов Сергей Владимирович
Руководитель:
Шаханина Анна Александровна
Материалы работы:
580127.zip
* (429 кБ)
Описание работы:
Работа знакомит с основами экономики и бизнеса через решение текстовых математических задач на проценты. В условиях задач встречаются такие понятия и термины, как ресурсы, капитал, владелец, предприятие, инвестиции, прибыль и др. Каждому из них дано определение. Проект оформлен в виде сборника-решебника в форме презентации.
Контактная информация:
* Для распаковки архива вы можете воспользоваться бесплатной программой 7-Zip или любой другой программой, поддерживающей архивы 7z и Zip.
-
1 - Войти
- Зарегистрироваться / Создать сайт
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Была в сети 14.06.2021 09:06
Идиятуллина Минзифа Кутдусовна
учитель математики
63 года
3 529
10 015 
«Решение задач с экономическим содержанием на проценты»
10.06.2020 07:26
Просмотр содержимого документа
«»Решение задач с экономическим содержанием на проценты»»
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Задачи по банковскому делу с решением (простые и сложные проценты)
Задачи по простым и сложным процентам с решением
Задача 1. Под какой процент была вложена 4000 рублей, если через 8 лет сумма наращенного капитала составила 7000 рублей.
p = 4000 руб.
n = 8 лет
S = 7000 руб.
I = S – p = 7000 – 4000 = 3000 руб.
I=P*i*n/100
i = 100*I/(P*n) = 100*3000/(4000*8) = 9,4%
Сумма была положена под i = 9,4%
Задача 2. Определить сумму наращенного капитала на 1 ноября, если клиент положил на депозитный счет 3 мая 15000 рублей под 15% годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 4%. Расчеты ведутся по французской методике расчета процентов.
p1 = 15000 руб.
i1 = 15%
i2 = 19%
d1 = с 3 мая по 2 августа = 91 день
d2 = со 2 августа по 1 ноября = 91 день
k = 360 дней (французская методика)
I1 = P1* i1*d1/(k*100) = 15000*15*91/(100*360) = 568,75 руб.
S1= P1+I1 = 15000 + 568,75 = 15568,75 руб.
P2 = S1
I2 = P2* i2*d2/(k*100) = 15568,75*19*91/(100*360) = 747,735 руб.
S2 = P2+I2 = 15568,75 + 747,735 = 16316,485 руб.
Сумма наращенного капитала на 1 ноября составляет 16316,485 руб.
Задачи на расчет простых и сложных %
Задача 3
1. На какой срок необходимо вложить 5000 рублей при 30% годовых, чтобы сумма дохода составила 560 рублей?
Дано:
Р = 5000 руб.
i = 30%
I = 560 руб.
к = 365 дней
Найти d
Решение:
560 = (5000*30*d)/100*365;
150000*d = 20440000
d = 136 дней
Ответ: 5000 руб. надо положить на 136 дней, чтобы получить доход в 560 руб. при 30% годовых
Задача 4.
Клиент положил в банк депозит в размере 25 000 руб. 15 апреля. 19 июня клиент снял со счета 8 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 1000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.
Дано:
Английская методика
Р = 25000- 8000=17000 руб.
I = 1000 руб.
к = 365 дней
d = 261 день
Найти i
Решение
1000 = (17000* i *261)/100*365;
4437000* i = 36500000
i = 8,2%
Ответ: ставка банка по вкладу равна 8,2%
Задача 5. На какой срок необходимо вложить 15 000 рублей при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000 рублей?
Решение:
Для решения задачи воспользуемся формулой
I=P*i*n;
где I – доход;
i — процентная ставка;
n – срок в годах.
Из формулы получаем, что n = I*100% / P*i
n = 2 000 * 100 % / 15 000 * 9 % = 1,481 лет
Ответ: нужно вложить на 1, 481 лет.
Задача 6. Клиент положил в банк депозит в размере 45 000 руб. 15 мая. 30 июля клиент снял со счета 7 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 6 000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся формулой
I = P*i*d / 100% * K,
где I – доход;
i — процентная ставка;
d – срок в днях, на который положили деньги;
K — база измерения времени или продолжительность года в днях.
Английская практика (в России) – 365 дней.
Из формулы получаем, что i = I * 100% * K / P * d
P = 45 000 – 7 000 = 38 000 рублей
d = (31-15) +30+31+31+30+31+30+31+1 = 231
i = 6 000 * 100 % * 365 / 38 000 * 231 = 24,95 %
Ответ: ставка банка по вкладу 24,95 %.
Задача 7
Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.
Решение:
1) Процентный платеж или доход кредитора:
I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.
S – сумма наращенного капитала
P — первоначальный капитал
2) Процентную ставку:
i=100*I/(P*n)=100*4600/(1000*7)=66%
n— время, выраженное в годах
Ответ: процентная ставка равна 66% годовых.
Задача 8
Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Решение:
Согласно немецкой методике год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней.
1) Количество дней, в течении которых вклад лежал под 15 % годовых:
Апрель-27дней
Май – 30 дней
Июнь – 30 дней
Июль – 30 дней
Август – 11 дней
d = 128 дней – время пользованию ссудой
2) Количество дней, в течении вклад лежал под 17 % годовых:
Август – 19 дней
Сентябрь – 30 дней
Октябрь – 12 дней
d = 61 день – время пользованию ссудой
3) Доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой:
I = P* i*d/(k*100) = [20000*15+128/(100*360)] +[20000*17+61/(100*360)] = 1642,78 руб.
Р – первоначальный капитал
i – процентная ставка
d – количество дней
4) Сумма наращенного капитала:
S = P + I = 20000 + 1642,78 = 21642,78 руб.
Ответ: наращенный капитал равен 21642,78 руб.
Задача 9
Среднемесячная заработная плата за вычетом налогов на предприятии составила: в базисном периоде 1 1548 руб., в отчётном- 14005 руб., цены на потребительские товары и услуги повысились в отчётном периоде па 17,5%. Доля налогов в заработной плате в базисном периоде составляла 13%, в отчётном — 15%. Определите: 1 .Индекс покупательной способности денег.
2.Индекс номинальной и реальной заработной платы.
Задача 10
Имеются следующие данные о составе и использовании денежных доходов населения РФ в текущих ценах, млрд руб.:*
* Россия в цифрах. 2008: Стат. сб. — М.: Росстат, 2008. С. 120.
Показатель 2006 г. 2007 г.
Денежные доходы:
-доходы от предпринимательской деятельности 1915,1 2118,3
-оплата труда 11237,0 14940,0
-социальные выплаты 2080,4 2317,8
-доходы от собственности 1720,6 1423,1
-другие доходы 336,8 424,3
Денежные расходы и сбережения:
-покупка товаров и оплата услуг 11927,5 14792,4
-обязательные платежи и разнообразные взносы 1813,0 2661,0
-приобретение недвижимости 572,3 690,5
-прирост финансовых активов
Определить за каждый год:
1.Номинальные и располагаемые денежные доходы населения в текущих ценах.
2. Прирост финансовых активов.
3. Структуру денежных доходов и расходов населения.
4. Изменение структуры денежных доходов населения с помощью обобщающих показателей
Задача 11
Больший капитал вложен на 6 месяцев при ставке 5%, а меньший на 3 месяца при ставке 6%. Разница между двумя капиталами 1000 рублей. Найти величину капиталов, если известно, что процентный платеж по первому капиталу равен двойному процентному платежу за второй капитал.
Задача на простые проценты.
I=P*i*n;
P1=P2+1000.
(P2+1000)*5=6*P2
P2=5000;
P1=6000.
Задача 12
Сравнить доход по различным вкладам:
1 – 5000 рублей с 1 мая по 10 ноября по 15 % годовых (английская практика расчета процентов)
2 – 4000 рублей с 5 апреля по 28 августа под 20% годовых (немецкая практика расчета процентов).
Задача на простые проценты.
По английской практике расчета процентов в году 365 дней и в месяце число дней соответствует календарю. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 30+30+31+31+30+31+10=193;
I1=(P1*i1*d1) / (K1*100)=5000*15*193/(365*100)=396,58 руб.
По немецкой практике расчета процентов в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 25+30+30+30+28=143
I2=(P2*i2*d2) / (K2*100)=4000*20*143/(360*100)=317,78 руб.
Следовательно, доход по первому вкладу больше, чем по второму на 78,8 рублей.
Задача 13
Капитал величиной 15 000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.
Решение задачи на простые проценты:
Будем решать данную задачу с использованием методики простых процентов.
Исходные данные:
— P = 15000 руб
— i = 6 %
— m=3 месяца
Определим доход от вклада 15 000руб, положенных в банк на 3 месяца:
I=P*i*m/ (12*100) = 15000*6*3/ (12*100)=225 руб.
Сумма наращенного капитала
S=P+I=15000+225=15225 руб.
Задача 14
Клиент положил в банк депозит в размере 20 000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 15 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 11 000 руб. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Решение
При определении числа дней ссуды по немецкой методике расчета процентов год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. Учитывая это, посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 20 000 рублей:
май – 15 дней;
июнь – 30 дней;
июль – 30 дней;
август – 10 дней.
Итого 85 дней
Определим доход от депозитного вклада суммы 20 000 рублей на срок 85 дней:
I=(P*i*d) / (K*100)=20000*85*i/(360*100)=47,22 i.
После того, как клиент 10 августа снял со счета 15 000 рублей, сумма депозита составила 5 000 рублей. Посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 5 000 рублей
август – 20 дней;
сентябрь – 30 дней;
октябрь – 30 дней;
ноябрь – 30 дней
декабрь – 30 дней
январь- 30 дней
Итого 170 дней
Тогда, I2=(P2*i*d2) / (K*100)=5000*170*i/(365*100)=23,288 i.
Определим суммарный доход от депозитного вклада:
I=I1+I2=47,22 i.+23,288 I = 70,51* i = 11000;
I=156%
При заданных условиях ставка банка по вкладу составила 156%.
Задача 15
Под какой процент была вложена 5000 рублей, если через пять лет сумма наращенного капитала составила 3600 рублей.
Решение:
По условию, была вложена сумма P=5000 рублей.
Сумма наращенного капитала I=3600 рублей.
Cрок n= 5 лет
I=P*i*n.
3600=5000*i*5.
i=3600/(5000*5)=0,144, т.е. 14,4%
Ответ: процент составляет 14,4%.
Задача 16
Определить сумму наращенного капитала на 1 октября, если клиент положил на депозитный счёт 3 апреля 20000 рублей под 15 % годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 2 процента. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Решение:
По условию, была вложена сумма P=20000 рублей.
Размер процента составлял 15% с 3-го апреля по 2 августа и 15+2=17% -со второго августа до 1 октября.
Разобьём это время на два периода:
d1=27+30+30+30+2=119-первый период по немецкой системе
d2=28+30+1=59-второй период по немецкой системе
I=I1+I2-наращеный капитал за два периода.
k – база дней по немецкой системе.
I=P*i*d/K=I1+I2=20000*0,15*119/360+20000*0,17*59/360=1548,99 рублей.
I1=991,67 рублей
I2=557,22 рублей
I=1548,99 рублей
Ответ: сумма наращенного капитала I=1548,99 рублей.
Задача 17
Капитал величиной 40000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.
S=(40000*3*0,06/12)+40000=40600 руб.
Задача 18
Клиент положил в банк депозит в размере 50000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 25000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 5000 руб. Ресчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
I=I1+I2; Составим уравнение, решив которое получим: i = 31.5121%
Ответ: i = 31.5121%
Задача 19
Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.
Решение:
Определим доход:
I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.
S — наращенный капитал
P — первоначальный капитал
Теперь определим процентную ставку:
i=100*4600/(1000*7)=15,71%
Ответ: процентная ставка равна 15,71% годовых.
Задача 20
Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Решение:
Немецкая методика: год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. При определении числа дней ссуды по календарю в России первый и последний дни не учитываются.
Сосчитаем количество дней, при которых вклад лежал под 15 % годовых:
Апрель-27дней
Май – 30 дней
Июнь – 30 дней
Июль – 30 день
Август – 11 день
Сумма – 128 дней
И количество дней, при которых вклад лежал под 17 % годовых:
Август – 19 дней
Сентябрь – 30 дней
Октябрь – 11 день
Сумма – 60 день
Определим доход:
I=P*i*d/(100*360)=[20000*15*128/36000 ]+ [20000*17*60/36000 ] = 1633,33.
I = 1633,33 рубля, где
Р – сумма вклада
i – процентная ставка
d – количество дней
Наращенный капитал:
S = P + I = 20000 + 1633,33 = 2163,33 рубля.
Ответ: наращенный капитал равен 2163,33 рубля.
Проценты.
Симутина Н.В.,
учитель математики МБОУ СОШ №5
Г. Тайшета
Аннотация
Актуальность темы была и остается в том, что проценты – это одна из
сложнейших тем математики. Очень многие учащиеся затрудняются или вообще не
умеют решать задачи на проценты, встречающиеся в государственной итоговой
аттестации. Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого
человека. Знание процентов затрагивает финансовую, экономическую,
демографическую и другие сферы нашей жизни. В настоящее время очень большое
количество людей берут деньги или товары в кредит под определенный процент. И
каждый человек должен понимать как начисляются проценты. И именно поэтому в
контрольных измерительных материалах единого государственного экзамена 2015
года по математике добавлено задание с развернутым ответом профильного уровня (19) с экономическим содержанием., проверяющее
практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки
построения и исследования математических моделей, умение использовать
приобретенные знания и умения в практической деятельности при проведении
банковских операций. Изучение процента продиктовано
самой жизнью.
Оглавление
I.
Введение
1.
Актуальность
2.
Цель работы
3.
Методы и приемы
II.
Основная часть
1.
Из истории происхождения процентов
2.
Решение задач на проценты
2.1. Задачи на проценты по категориям
2.2. 1 категория задач на проценты
2.3. 2 категория задач на проценты
2.3.1. Задачи на концентрацию и процентное содержание
(теория)
2.3.2. Типичные ситуации
2.3.3. Различные методы решения
2.3.4. Задачи на сложный процент и банковские операции
III.
Применение процентов в жизни
3.1. Изучение банковских вкладов
3.2. Изучение знаний учащихся по решению задач на проценты
IV. Заключение
V. Литература
VI. Приложение
I.Введение
В
контрольно — измерительных материалах имеются задачи на проценты, и эти
задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема
«Проценты» изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно,
закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к
этой теме совсем не возвращаются. Не только при проведении государственной
итоговой аттестации есть задачи на проценты, они также включаются службой по
надзору и контролю при проведении мониторинговых исследований, но и при
отработке технологии проведения экзамена в 9 и 11 классах.
1. Актуальность темы. В наше время почти во
всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия
«процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни
в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых
отчислений; чтобы открыть счёт или взять кредит в банке, наши родители
интересуются размером процентных начислений. И в торговле понятие «процент»
используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные
изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д. — всё это проценты. И каждый
человек должен уметь вычислять эти проценты. Данная тема актуальна.
2.Цель данной
работы — показать широту применения такого простого и
известного математического аппарата, как процентные вычисления.
Задачи:
Ø Познакомиться с историей возникновения процентов
Ø Научиться решать задачи на проценты разными
способами
Ø Познакомиться с формулой сложных процентов
Ø Научиться применять полученные знания на примерах,
с практическим содержанием
Ø Исследовать бюджет семьи, качество знаний учащихся
Ø Поработать с ресурсами Internet
Ø Поработать в Microsoft Word,
Microsoft PowerPoint и Microsoft Excel
Методы и приемы:
ü Поиск информации в источниках, справочниках
ü Работа с ресурсами Internet
ü Обработка и анализ информации
ü Анкетирование учащихся по отдельным вопросам
касающихся процентного соотношения
ü Умение работать в Mikrosoft PowerPoint и Mikrosoft Word, Microsoft Excel
ü Составление диаграмм, таблиц
Гипотеза: Процент—не абстрактное понятие, а постоянный спутник нашей жизни.
II. Основная часть
1.Из истории происхождения процентов
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально
означает «за сотню» или «со ста». Проценты были известны индийцам еще в 5 веке.
Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе
счисления. В популярной литературе возникновение этого термина связывается с
внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Но идея выражения
частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими
соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных
табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали
не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем
Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за
каждую сотню. Например: Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца
50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в
установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев
должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг? Решение:
Для начала найдем 20% от 50 , получим
пропорцию
50с – 100% Хс
– 20%
Х=20·50/100=10 с 50
+ 10 = 60 сестерциев Ответ:
60 сестерциев От
римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби
появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин — инженер
из города Брюгге (Нидерланды). В 1584 году он впервые опубликовал таблицу
процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII
века. Существует и другая версия возникновения этого знака %. Там, в частности,
говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной
наборщиком. В 1685 году в Париже вышла книга Матьё де ла Порта «Руководство по
коммерческой арифметике». В одной из глав речь шла о процентах, которые
обозначались теми же уже знакомыми нам буквами «cto». Однако подслеповатый
наборщик принял букву t в этой надписи за дробную черту. Отсюда путем
дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/),
так возник современный символ для обозначения процента — %
Так, благодаря одной глупой или не
такой уж и глупой ошибке, возможно, знак % и вошёл в обиход. Долгое время под
процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей.
Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их
применения расширилась, проценты стали использовать в хозяйственных и
финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это сотая
доля целого (принимаемого за единицу)
2. Решение задач на проценты
2.1. Задачи на проценты по категориям
1 категория — простые: ( нахождение процента от числа; нахождение числа по его
процентам;. нахождение процентного отношения двух чисел )
2 категория– сложные; (
задачи на сплавы и смеси; экономические задачи; процентное содержание (
концентрация ))
2.2. 1 категория: нахождение
процента от числа
Чтобы найти
процент от числа, надо число умножить на процент. (Чтобы найти а % от в, надо
в• 0,01а).
Задача1. Налог на доходы физических лиц (НДФЛ) в РФ
составляет 13% от начисленной заработной платы. Сколько рублей получает
работник после уплаты НДФЛ, если начисленная заработная плата составляет 20000
рублей? (демоверсия 2015)
Решение: 20000 составляет 100%
1) 20000:100 =200 рублей составляет 1%.
2) 200 •13=2600 рублей уплата НДФЛ
3) 20000 – 2600 = 17400 рублей получает работник
Ответ: 17400 рублей получает работник
нахождение числа по его процентам;
Задача 2. За контрольную работу по математике отметку»5»
получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в
классе?
Решение: Неизвестное число – 100%.
1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%.
2) 0,4• 100=40 учеников в классе.
Ответ: 40 учеников в классе.
Задача
3. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге.
Сколько страниц в книге?
Решение: Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге . Но мы знаем, что
часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23 % от общего количества
страниц в книге. Само количество страниц, естественно, будет больше 138. Так
как 23% = 0,23, 138 : 0,23 = 600 страниц.
нахождение процентного отношения двух чисел:
Задача 4: Из 1800
га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?
Решение: 1800 га составляют 100%
1) 1800:100=18 га составляет 1%.
2) 558:18=31; 558
га составляют 31%. Ответ: ; 558
га картофеля составляют 31%.
2.3. 2 категория задач – сложные
2.3.1.{1} Задачи на концентрацию и процентное содержание (Приложение №1)
Задачи на
концентрацию и процентное содержание – это задачи о составлении сплавов,
растворов или смесей нескольких веществ.
Основные
допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:
а) все получающиеся
сплавы или смеси однородны; не делается различия между литром как единицей
массы и как единицей ёмкости.
б) при смешивании
двух растворов, имеющих объёмы υ1 и υ2, получается смесь,
объём которой υ0= υ1+ υ2.
Решение
любой задачи на смеси обычно сводится к расчёту абсолютного и относительного
содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи.
Абсолютное содержание вещества в смеси – это
количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения ( граммах, литрах
и т.д.)
Концентрация
вещества, выраженная в процентах ( долях), называется отношение массы
этого вещества (абсолютное содержание) к массе всей смеси (раствора, сплава).
Концентрация
вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в
смеси (растворе, сплаве).
Иначе
концентрацию или процентное содержание называют относительным содержанием:
абсолютное содержание
относительное
содержание = ___________________________________
общая масса
Чтобы
проиллюстрировать эти понятия, предположим, что в сосуд, содержащий 450
г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося раствора 500
г. В растворе абсолютное содержание соли 50
г, а относительное ( 50 г) : ( 500 г)=0,1= 10%.
Аналогично, в
растворе абсолютное содержание воды 450
г, а относительное содержание (450 г) : (500
г) = 
= 0,9= 90%
2.3.2. Типичные
ситуации
Смешали две
смеси (соединили два сплава)
При образовании смеси
складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные
содержания, то нужно:
v
Подсчитать абсолютные содержания;
v
Сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать
абсолютные содержания компонент смеси;
v
Подсчитать относительные содержания компонент
смеси.
Задача 5. Смешали 500
г 10%-го раствора соли и 400 г 55% -го раствора соли. Определите концентрацию
соли в смеси.
Решение: Представим условие задачи в виде рисунка
500г 400
г
900г
Абсолютное
содержание соли в первом растворе: 500
г (общая масса) • 0,1 (относительное содержание соли) = 50
г
Абсолютное
содержание соли во втором растворе: 400
г (общая масса) • 0,55 (относительное содержание соли) = 220
г
Общая масса смеси: 500
г масса первого раствора) + 400 г (масса второго раствора) = 900
г
Абсолютное
содержание соли: 50 г (абсолютное содержание соли в первом растворе) + 220
г (абсолютное содержание соли во втором растворе) = 270
г
Относительное
содержание соли:
0,3 = 30%
Итак, концентрация
соли в смеси двух исходных растворов – 30%
Отлили часть
раствора / отрезали кусок сплава.
При этой
операции остаётся неизменна концентрация веществ ( если из чашки отлить немного
чая в другую чашку, то чай не станет слаще). Поэтому после отливания части
раствора относительные содержания можно считать известными и необходимо
подсчитывать абсолютные содержания.
Задача 6. От
куска сплава золота с серебром массой 500
г и 10% -м содержанием золота отрезали 20
г . Определите количество золота и серебра в отрезанном куске.
Решение:
500
г 20
г
отрезали 20 г
Ø
Исходный сплав
Абсолютное
содержание золота: 500 г (общая масса) • 0,1 (относительное содержание золота)
= 50 г
Абсолютное
содержание серебра: 500 г (общая масса) – 50
г (абсолютное содержание серебра) = 450
г
Относительное
содержание серебра:
450
г (абсолютное содержание серебра) = 0,9 = 90%
500
г (общая масса)
Ø
Отрезанный кусок
Относительное
содержание золота: 10% (осталось неизменным)
Абсолютное
содержание золота: 20 г (общая масса)•0,1 (относительное содержание золота) = 2
г
Относительное
содержание серебра: 90% (осталось неизменным)
Абсолютное
содержание серебра: 20 г (общая масса)•0,9 (относительное содержание серебра) =
18 г
Итак, в отрезанном
куске содержится 2 г золота и 18 г серебра
500
г 20
г
|
золото10%= 50 г |
|
серебро 450 |
|
золото 10%= 2 г |
|
серебро 90%=18 |
отрезали 20 г
Ответ: 2
г золота и 18 г серебра.
Задача 7. Имеется
два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во
втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы
получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
Решение:
Пусть х – масса
первого сплава, у – масса второго сплава. Тогда количество золота в первом
сплаве составляет 0,35 х, а во втором – 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а
количество золота в нем составляет 0,4 (х+у). Уравнение примет вид: 0,35х+0,6у
= 0,4 (х+у). Получим: х=4у т.е. х:у = 4:1
Ответ: в отношении
4:1.
Задача 8:
(физический факультет, МГУ) Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё
металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?
Решение:
руда 24
т металл х т
|
чистый металл |
|
примесей 40% |
|
чистый металл |
|
примесей 4% |
процесс плавки
Ø
Руда:
Абсолютное
содержание примесей: 0,4• 24 = 9,6 т
Абсолютное
содержание чистого металла: 24 – 9.6 = 14.4 т
Ø
Металл
Абсолютное
содержание примесей: 0,04 х т
Абсолютное
содержание чистого металла: х – 0,04х = 0,96х т
руда 24
т металл х т
|
чистый металл |
|
примеси 9,6 т |
|
чистый металл |
|
Примеси 0,04х т |
процесс плавки
В процессе плавки
удаляется большая часть примесей.
Количество чистого
металла остаётся неизменным, имеем :
0.96 х = 14,4
х = 14,4 : 0,96
х= 15
Ответ: 15 т
2.3.3. Различные
методы решения задач
Алгебраический
метод
Задача 9. В каких
пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор
65%-й кислоты?
Решение:
Пусть х г – масса
50%-й кислоты,
y г –
масса 70%-й кислоты
0,5 х г –
масса чистой кислоты в первом растворе,
0,7 y г –
масса чистой кислоты во втором растворе,
(х + y ) г
– масса смеси,
0,65 (х + y
) г – масса чистой кислоты в смеси.
Получим уравнение:
0,5 х
+0,7 y =0,65 (х + y ) — разделим на y≠ 0
0,5• 
+ 0,7 = 0,65• + 0,65
0,15 : 
= 0,05
= 
= 
Ответ: 1: 3.
Задача 10. Кусок
сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую часть меди нужно
добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди.
Решение:
36 • 0,45 = 16,2
(кг) – меди в первом сплаве.
Пусть добавили х кг
меди.
Меди во втором
сплаве ( 16,2 + х) или (36 + х) • 0,6
т.е. 16,2 + х =
(36 + х) • 0,6
16,2 + х =
21,6 + 0,6 х
х – 0,6 х =
21,6 – 16,2
0,4 х = 5,4
х = 5,4 :
0,4
х = 13,5
Ответ: 13,5
кг.
Решение задач
путём составления системы уравнений.
Задача 11. Имеется
лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять
каждого из этих сортов, чтобы после переплавки получить 140 т стали с
содержанием никеля в 30%.
Решение: решим эту задачу вторым способом т.е. составим систему уравнений.
Пусть нужно взять
х т стали первого сорта и у т стали второго сорта.
х+ у = 140, 0,05 (140 –у) +0,4у =
42;
0,05х +0,4у = 0,3
·140; 7 – 0,05у +0,4у =42;
х= 140 –
у, 0,35у = 35;
0,05 (140 –у) +0,4у =
42; у=100.
х= 40,
у=100.
Ответ: 40т, 100т.
Задача 12. Один раствор содержит 20% (по
объёму) соляной кислоты, а второй – 70% этой кислоты. Сколько литров первого и
второго растворов нужно взять, чтобы получить 100
л 50% -го раствора соляной кислоты?
Решение:
х л у л
100л
Используя схему, получим систему
х+у =100,
0,2 х + 0,7 у = 0,5 · 100.
х+у =100,
2х +7у = 500.
 |
х= 100- у,
200 – 2у + 7у = 500;
х = 100 –у.
5у= 300.
х=40,
у=60. Ответ:
40л и 60 л.
Задачи на концентрацию ( с помощью
составления таблицы).
При решении некоторых задач удобно внести
данные задачи в таблицу и вести расчёт с того вещества, масса которого не
меняется.
Задача 13. Морская вода содержит 5% соли (по
массе ). Сколько пресной воды нужно добавить к 30
кг морской воды, чтобы концентрация составила 1,5 % ?
Решение:
|
соль |
морская вода |
|
|
было |
5% — 1,5 |
100% — 30 |
|
стало |
1,5 % — 1,5 |
100% — ? |
1)
0,05 · 30 = 1,5 (кг) – масса соли
2)
1,5 : 1,5 · 100 = 100
кг – масса нового раствора,
3)
100 – 30 = 70 (кг) воды надо взять.
Ответ : 70
кг.
Задача 14.{1}Имеются два сплава, состоящие из
меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй –
26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково.
Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором
оказалось 30% цинка. Определите, сколько кг олова содержится в полученном новом
сплаве?
Решение:
|
Сплавы (кг) |
I |
II |
III |
|
масса сплава |
150 |
250 |
400 |
|
масса олова |
150 ·0,4 = 60 |
? |
? |
|
масса меди |
? |
250 · 0,26 = 65 |
? |
|
масса цинка |
150 х / 100 = 1,5 х |
2,5 х |
0,3 · 400 = 120 |
1,5х + 2,5 х = 120
4 х = 120
х = 30
1) 2,5 · 30 = 75 (кг)
2) 250 – (65 + 75) = 250 – 140 = 110 (кг)
Олова в третьем сплаве 60 + 110 = 170 (кг.)
Ответ: 170
кг
2.3.4.Задачи на сложные проценты и банковские
операции
Сложным процентом называется сумма
дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что
сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода,
а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама
приносит доход
Сложные проценты — это проценты,
полученные на начисленные проценты.
Формула сложного процента — это
формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления
процентов. х (1+ 0,01 а)n — периодическое увеличение некоторой
величины на одно и то же число процентов, где х — начальный вклад,
сумма, а – процент(ы) годовых, n- время размещения вклада в банке
Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно
записать и по- другому: х(1- 0,01 а )n — периодическое
уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.
Популярность кредитования в нашей
стране растет из года в год. Выгодным может оказаться ипотечный кредит, так как
цены на квартиру за последние годы стремительно растут. Поэтому копить деньги
на квартиру годами и снимать жилье не выгодно. Если позволяют доходы семьи.
Лучше оформить ипотечный кредит.
При существующих процентах на автокредитование примерная
сумма ежемесячных платежей составляет от 2% до 3% от первоначальной стоимости
автомобиля. С учетом ежегодных трат на страхование автомобиля, новый автомобиль
будет обходиться примерно на 30-35% дороже реальной стоимости. Поэтому покупать
автомобиль в кредит выгодно в том случае, если у вас есть точная информация,
что через некоторое время цены на эти модели автомобиля вырастут на 35%. В этом
случае покупая автомобиль в кредит можно даже сэкономить.
Пример 1.
Открытое акционерное общество «Сбербанк России» предоставляет «Потребительский
кредит» в сумме 60000 рублей под 19% годовых на цели личного потребления на
срок 12 месяцев. Расчёт погашения кредита ведётся по формуле х(1- 0,01
а)n — периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то
же число процентов Первый месяц вы выплатите банку сумму в размере 11400
рублей, остаток ваш после первого погашения будет 60000 – 60000·19%=48600
рублей. Следующий месяц выплата банку составит 9234 рубля, остаток — 48600 –
48600·19% = 39366 рублей и так далее.
Пример 2. Представим, что вы положили 30 000 руб в банк под
12 % годовых. Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM =
30000 + 30000·12% = 33 600 рублей. Прибыль за год — 3600 рублей. Вы решили
оставить 336000 рублей на второй год в банке под те же 12%. Через 2 года в
банке накопится 33600 + 33600·12% = 3763 рублей. Прибыль за первый год (3600
рублей) прибавилась к основной сумме (30 000р) и на второй год уже сама
генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к
основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Примеры задач с экономическим содержанием,
представленные в КИМах 2015 года
Задача 15.(4) Максим хочет взять в кредит 1,5 млн рублей.
Погашение кредита происходит раз в год разными суммами (кроме, может быть,
последней) после вычисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое
минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты
были не более 350 тысяч рублей?
Решение. При начислении процентов оставшаяся сумма долга
уменьшается на коэффициент 1 + 0,01·10 = 1.1. В конце первого года долг
составит 1500000· 1.1 = 1650000 рублей. После выплаты 350 тысяч рублей остается
долг 1300000 рублей и т.д. Составим таблицу выплат
|
Год |
Долг банку ( руб.) |
Остаток после транша (руб.) |
|
0 |
1500000 |
— |
|
1 |
1650000 |
1300000 |
|
2 |
1430000 |
1080000 |
|
3 |
1188000 |
838000 |
|
4 |
921800 |
571800 |
|
5 |
628980 |
278980 |
|
6 |
306878 |
0 |
Ответ: Максим погасит кредит за 6 лет.
Задача16. {4}31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке
4290000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая –
31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), чтобы Дмитрий выплатил долг двумя
равными платежами (то есть за два года)?
Решение: Пусть сумма кредита равна S, а годовые
составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается
на коэффициент b = 1 + 0.01a. После первой выплаты сумма долга составит S2 = S1 b
– Х =( Sb – Х) b – Х = Sb2 – (1 + b) Х.
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит
полностью, поэтому Sb2 – (1 + b) Х =0, откуда Х = Sb2/(1
+ b). При S = 4290000 и а = 14,5, получаем: b = 1, 145 и
Х = 4290000· 1,311025 : 2, 145 = 2622050 рублей.
3
. Применение процентов в жизни
3.1. Изучение банковских вкладов
Люди во все времена
думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от
финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой
островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью
небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и
независимость.
Основным принципом
банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться
лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно
ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия,
выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых
правил. Возьмём долгосрочные вложения, которые позволяют за определенное
количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить
существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для
повседневных нужд.
Например, вы
решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет
воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате
капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета
сложного процента. Применение сложного процента подразумевает то, что в конце
каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с
вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.
Для расчета сложного процента применяем
простую формулу: 
где
- S – общая сумма
(«тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по
истечении срока действия вклада; - Р – первоначальная
величина вклада; - n — общее
количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения
денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет); - I – годовая
процентная ставка.
Подставив значения в
эту формулу, мы видим, что:
через 5 лет сумма
будет равняться 
руб.,
а
через 10 лет она составит 
руб.
Существует и другой,
более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки –
ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:
где n также
соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в
месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в
году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную
ставку.
Если бы данная
формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент
делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы
процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а
обозначение n соответствовало количеству полугодий.
Итак, если бы нами
был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов,
то:
через 5 лет (60
месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб.
больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; 
руб.
а через 10 лет (120
месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000
руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента,
предусматривающей расчет в годах.
руб.
Это означает, что
доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при
начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент
работает на пользу вкладчика.
3.2.Изучение знаний учащихся по решению задач на
проценты
|
Класс |
Число участниковв |
Выполнили на «5» |
На «4» |
На «3» |
На «2» |
Успеваемость |
Качество по теме |
|
6в класс |
26 |
6 |
10 |
7 |
3 |
88,5% |
61% |
|
10 б |
23 |
3 |
7 |
7 |
6 |
73,9% |
43,5% |
|
11 |
37 |
6 |
15 |
12 |
6 |
83.8% |
70% |
Успеваемость и качество знаний в 10 б
классе низкое , так как учащиеся, которые четыре раза пересдавали экзамен, так
и не научились решать задачи на проценты. В 11 классе давались задания базового
уровня.
III.Заключение
В современном мире прожить без знаний процентов невозможно.
Чтобы быть хорошими специалистами надо уметь разбираться в большом потоке
информации, необходимо знать проценты. Вкладчик сбережений учиться жить на
проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.
Поставленная
цель работы достигнута, показана целесообразность применения процентов при
решении повседневных задач. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты
необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся повседневной
жизни.
Изучение столь важной и интересной темы даёт положительную
мотивацию для самообразования и хорошей подготовки к экзаменам.
IV
Литература
1. Виленкин Н.Я. Математика 5, Математика 6.
Учебник для общеобразовательных учреждений, издательство МНЕМОЗИНА, Москва,
2010 г
2.«Математика» — учебно- методическая газета,
№6 за 2006 год, стр.15- 22; № 23 за 2004 год, стр. 28 – 32; № 25 – 26 за 2004
год, стр. 34-36; № 17 за 2004 год, стр. 29-32; № 47 за 2003 год, стр. 11-14;
№ 12 за 2004 год, стр. 14-16; № 36 за 2004 год, стр 14 – 18.
3. Григорьева, Математика. Пособие для подготовки
к вступительным экзаменам, стр. 152
4. Соломатин О.Д. Журнал «Математика в школе»
. 1997 год. «Старинный способ решения задач на смеси и сплавы» , стр. 12-14.
5. Фрадков И.С.. Пособие для подготовки в
вузы, стр.8.
6. http://karmanform.ucoz.ru/test в1.rar
http://karmanform.ucoz.ru/test в2.rar
shkolo.ru›nahozhdenie—protsentnogo—otnosheniya…
shevkin.ru›?action=Page&ID=676
math.sch1582.edusite.ru›6_kl/matematika/
7. Ященко И.В. Математика
ЕГЭ 2015 г. Типовые тестовые задания
Приложение №1
1. Старинный
способ решения задач на сплавы и смеси
Задача 1. При смешивании 5% — ного раствора кислоты с 40% — ным раствором
кислоты получили
140 г 30% — ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого
взято?
Решение:
Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и
примерно посередине – содержание кислот в растворе, который должен получиться
после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим пары чисел 30 и
5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем
в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:
5 10
30 :
40 25
Вывод: 5% — ного раствора надо взять 10 частей, 40% — ного раствора –
25 частей для получения 140 г 30% — ного раствора.
1) 140 : 35 = 4 г ( 1 часть)
2) 4 · 10 = 40г ( 5% — ного)
3) 4 · 25 = 100 г ( 40% — ного)
Ответ: 5% — ного раствора 40 г, 40% — ного раствора – 100
г.
Задачам подобного
типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике»
Магницкого.
Например задача: как
смешать чай?
Имеет некто чай трех
сортов – цейлонский по 5 гриыен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и
китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта,
чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?
Вот решение из
«Арифметики» Л.Ф. Магницкого: «А когда случится мешати три товара из них же
зделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в
правиле полагается. Яко же зде видимо есть:
5
6 5 2
 |
6 6
12 1 8 1
Здесь предлагается
взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и
12 гривен за один фунт. Указанный Л.Ф. Магницким способ состоит в следующем.
Надо метод, изложенный при решении задач на смешение двух веществ, применить
два раза: первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а во
второй раз с наименьшей и средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в
которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости ( приведенном
примере 1 и 1). Сложив затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во
второй раз (6+2=8), получим долю дешевого вещества в общей смеси.
Задача 2. Имеется
серебро 12 – й, 11-й и 5-й пробы. сколько какого серебра надо взять для
получения 1 кг серебра 9 – й пробы?
Решение: Необходимо
этот метод применить два раза: первый раз, взяв серебро с наименьшей и
наибольшей пробой, а во второй раз – с наименьшей и средней пробой. Получим
схему:
5 3 3+2 = 5
9
4
12 4 4
5 2 —
9
13
11 4
При этом найдены доли, в которых нужно сплавлять серебро наибольшей
и средней пробы ( 4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные
в первый и во второй раз ( 3+2 =5) получим долю серебра наименьшей пробы в
общем сплаве.
Итак, надо
взять 5 / 13 кг серебра 5 – й пробы, 4 / 13кг серебра 12-й пробы и 4/ 13
кг серебра 11-й пробы. ( задачи на смешивание трёх веществ могут иметь не
единственное решение. Серебро 9-й пробы можно получить, сплавляя серебро 5-й и
12-й пробы в отношении 3 : 4 ( 1 сплав) или серебро 5-й и 11-й пробы в
отношении 2 : 4 ( 2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем
получать различные сплавы серебра 9-й пробы)
( В России
существовала золотниковая система обозначения пробы на основе русского фунта,
содержащего 96 золотников, по которой проба выражалась весовым количеством
благородного металла в 96 единицах сплава, например, слова «серебро
одиннадцатой пробы» означает что в 96 частях сплава содержится 11 частей
серебра. В наше время проба обозначает число частей благородного металла в 1000
частях (по массе) сплава)
Задача 3: Имеется 240
г 70% — ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% — ный раствор
кислоты. Сколько граммов воды ( 0% — ый раствор) нужно прибавить к имеющемуся
раствору?
Решение
0 64
6
:
70 6
Итак: 240: 6 = 40г – составляет одну часть, а воды следует взять 64
части т.е. 64 · 40 = 2560г.
Ответ: 2560г.
Задача 4.В каких
пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор
65%-й кислоты?
Решение:
50 5
65 :
70 15
Для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в
отношении 5 : 15 = 1 : 3.
Ответ: 1 : 3.
Обоснование старинного способа решения задач на смеси.
Пусть требуется смешать раствор а%-й и в%-й кислот, чтобы получить
с%-й раствор.
Пусть х г – масса а% -ного раствора, у г – масса в% -ного раствора.
ха / 100 г – масса чистой кислоты в 1 растворе
ув / 100 г – масса чистой кислоты во 2 растворе.
с ( х+у) / 100г – масса чистой кислоты в смеси
ах ву с (х+у)
—— + —- = ———-
100 100 100
ах + ву = с х+су
ву – су = сх – ах
(в – с) у = ( с – а) х
х : у = ( в-с) : ( с – а)
Такой же вывод даёт схема:
а в-с
с :
в с — а
2. Задачи с аналитической моделью ах + ву = с
(х+у)
Задача 5. При смешивании 5% — ного раствора кислоты с 40% — ным раствором
кислоты получили
140 г 30% — ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого
взято?
Решение:
отметим по оси у – концентрацию растворов в %, по оси х – массу в г.
n (%)
0 
m (г)
х 140
S
1 = 10 · х S2
= (140 – х) · 25
Приравниваем площади равновеликих прямоугольников.
10 · х = (140 – х) · 25
10х = 3500 – 25х
10х = 3500
х = 100
Первого раствора 100г, второго раствора 40г.
3. Задачи на прямую пропорциональную зависимость.
Рассмотрим формулу n= mА : m
Если n – const, а mА и m – переменные величины, то mА
и m находятся в пропорциональной зависимости.
Графически пропорциональную зависимость можно изобразить с помощью
любого угла, стороны которого пересекаются параллельными прямыми
m1 m2
mА1 mА2
m2 m А2 m2
— m1 m2
——- = ———
или —————- = ———
m1 m А1 m А2
— m А1 mА1
Задача 6: к 20
кг 12% — ного раствора соли добавили 3
кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не
изменилась?
Решение: Масса соли в растворе
m А1 = 0,12 · 20 = 2,4 (кг) m А2 = 2,4
+3 = 5,4 (кг)
Пусть требуется
долить х л воды.
Тогда
20 20 +х
2,4 5,4
20+ х 5,4
——— =
——-
20
2,4
2,4х + 48 = 108
2,4 х = 108 – 48
2,4 х = 60
х = 60 : 2.4
х = 25
Ответ: долить 25
кг воды
4. Сплавы,
используемые в нашей повседневной жизни
Самый легкий сплав металлов – алюминий с небольшой добавкой лития. А
сплав кобальта и железа обладает наибольшей намагниченностью и из него
изготавливают мембраны для телефонов и детали магнитофонов. Танталовые сплавы (
залежи тантала имеются в нашем районе) не растворяются даже в «царской водке».
Сплавы тербия и кобальта имеют уникальные свойства: изменяют размеры и форму в
зависимости от степени их намагничивания. Для хранения радиоактивных веществ
изготавливают емкости из самых жаропрочных вольфрамовых сплавов. Самые твердые
сплавы получают из осмия и иридия. Самый легкоплавкий сплав – сплав Вуда (висмут
– 40 г, свинец – 10 г, олово – 10 г, кадмий – 7г). Он плавится при температуре
68°С. Если фигурку из сплава Вуда поместить в горячую воду, фигурка исчезнет,
если температура воды будет больше 68°С.
Струны музыкальных инструментов из сплава Cu и Be (
бериллиевая бронза). Красивые столовые приборы изготавливают из сплава никеля,
меди, железа, который называется мельхиор. Для изготовления деталей автомашин
используется сталь с добавкой металла ванадий. Монеты изготавливают из сплава
нейзильбер.
Добавление хрома значительно повышает устойчивость сплава к коррозии, а
если к стали добавить кремний, то она приобретает устойчивость к воздействию
кислот. Если взять меди Cu— 57-60%, цинка Zn – 40-43%, то
полученный сплав – латунь. Электроизмерительные приборы изготавливают из сплава
константин ( медь – 60%, никель -39-41%, марганец – 0,4-0,6%). Электрические
нагреватели делают из сплава никелин ( Cu— 65-67%, Ni— 33-35%, Mn— 0,4-0,5%).1
_____________________________________________________________________________
1- Журнал «Последний звонок», №8,
2004 г, Г.А. Капецкая, Турнир эрудитов, стр. 9
Главная » Экономика » Математика в экономике. Экономико-математические задачи на проценты и доли — Алешковский И.А.
В настоящем пособии рассматриваются методы решения экономико-математических задач, основанных на использовании процентов, долей и коэффициентов. Подробно разобраны решения типовых заданий вступительного экзамена на проценты и доли. К каждой главе предлагается большое количество задач и тестовых заданий для самостоятельной работы.
- Рубрика: Экономика / Студентам экономика
- Автор: Алешковский И.А.
- Год: 2006
- Язык учебника: Русский
- Формат: PDF
Математика в экономике — Экономико-математические задачи на проценты и доли — Пособие для поступающих на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова — 2006
В настоящем пособии рассматриваются методы решения экономико-математических задач, основанных на использовании процентов, долей и коэффициентов. Подробно разобраны решения типовых заданий вступительного экзамена на проценты и доли. К каждой главе предлагается большое количество задач и тестовых заданий для самостоятельной работы.
Пособие предназначено для абитуриентов экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и других экономических вузов и призвано помочь успешно подготовиться к сдаче вступительного экзамена по обществознанию. Пособие может быть также использовано для подготовки к вступительному экзамену по математике, а также при разъяснении ряда разделов школьных курсов математики и экономики.
Алешковский И.А.
Математика в экономике: Экономико-математические задачи на проценты и доли
Пособие для поступающих на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова.
3-е изд., испр., перераб. — М.: МАКС Пресс, 2006. — 80 с.
(Серия «Абитуриенту МГУ»)
ISBN 5-317-01563-4
УДК 33
ББК65я721
А49
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение. Основные виды экономико-статистических показателей
Глава 1. Основные принципы решения экономико-математических задач на проценты и доли 12
Глава 2. Средние величины в экономике
Глава 3. Банковские проценты
Глава 4. Номинальные и реальные величины
Ответы к задачам для самостоятельного решения
Ответы к тестам для самостоятельного решения
Рекомендуемая литература
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика в экономике — Экономико-математические задачи на проценты и доли — Пособие для поступающих на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова — 2006 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать книгу Математика в экономике — Экономико-математические задачи на проценты и доли — Пособие для поступающих на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова — 2006
Дата публикации: 11.08.2010 05:37 UTC
Теги:
экономика :: математика :: Алешковский :: МГУ :: учебное пособие :: экономико-математические задачи :: решение задач :: ответы :: средние величины :: банковские проценты :: номинальные величины :: реальные величины :: книга :: 2006 :: скачать
Следующие учебники и книги:
- Экономика малого предприятия — Гражданкина Е.В. — 2008
- Теория экономического анализа — Баканов М.И., Мельник М.В., Шеремет А.Д. — 2005
- Налоги и налогообложение — Практикум — Скворцов О.В., Скворцова Н.О. — 2006
- Математические методы в экономике — Учебник — Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. — 2001
Предыдущие статьи:
- Макроэкономика — Учебник — Ивашковский С.Н. — 2002
- Макроэкономика — Учебник — Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. — 2006
- Курс экономической теории — Учебник — Плотницкий М.И., Лобкович Э.И., Муталимов М.Г. — 2003
- Основы аудита. Вопросы и ответы — Танков В.А — Учебное пособие — 2005
