Есть ли среди следующих задач задачи с недостающими или избыточными данными турист проехал

Введем понятие задач с достаточным количеством данных, с недостающими данными и избыточными данными (по Н.В. Метельскому).

Если между условием задачи (А) и ее требованием (Х) установлено соотношение, определяющее одно или несколько определенных решений, то задачу считают определенной. Этот тип задачи можно условно изобразить формулой импликации: AÞX, которую будем понимать так: условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования Х.

Если из условия А опустить какое-либо данное ak, то получим задачу неопределенную (с недостающими денными), которая имеет бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра), которой принадлежало значение ak.

В случае, если условие, кроме А содержит еще некоторые данные an+1, то задачу называют переопределенной (с избыточными данными). Переопределенные задачи могут иметь решения в случае, если лишние данные не противоречат друг другу.

Нереальными задачами будем называть задачи, числовые данные которых делают их лишенными смысла (по В.А. Крутецкому). Каждая из этих задач является типовой, но числовые данные делают ее нереальной. Например:

1. Периметр прямоугольника 8 см, а сумма двух его сторон 6 см. Найти длину стороны.

2. Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше – Андрей или Иван?

Применение при обучении решению задач с недостающими и избыточными данными, нереальных задач имеет большое значение. При помощи этих задач можно не только выяснить насколько дети понимают связи в задаче, но и при работе над одной задачей с избыточными данными иногда удается составить и решить еще несколько задач, что является одним из приемов насыщения уроков задачами.

Например:

1. Маша отдала несколько открыток подруге, после чего у нее осталось 5 открыток. Сколько открыток отдала Маша подруге?

После выяснения, какого данного не хватает для возможности решения задачи, ученикам можно предложить самостоятельно подобрать, сколько открыток было у Маши, и решить при этом несколько задач вместо одной.

2. К чаю подали 9 пирожных «эклер», 6 пирожных «корзиночек» и 12 шоколадных конфет. Съели 11 пирожных. Сколько пирожных осталось?

Следует выяснить, какие данные лишние, как изменить вопрос или что изменить в условии, чтобы использовать все данные. Опять решается не одна, а несколько задач.

Задачи с избыточными данными могут быть противоречивыми и непротиворечивыми. На наш взгляд, детям обязательно нужно показывать такие задачи.

Рассмотрим работу над задачами такого вида на конкретных примерах. Даны задачи: а) «Дети сорвали 24 яблока. 8 яблок они съели, а остальные поделили поровну. Сколько яблок получил каждый ребенок?»; б) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 2 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?»; в) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 3 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?». Составим схемы разбора каждой из предложенных задач.

Задача а)

Задача (а) является задачей с недостающими данными. Она напоминает деформированную задачу, однако, в отличие от деформированной задачи, не имеет «окошка», т.е. конкретного указания на то, что пропущено данное. Эту задачу можно использовать для составления каскада задач.

Задачи (б) и (в) являются задачами с избыточными (лишними) данными. Однако одна из них может быть решена и непротиворечива, а другая не имеет однозначного решения, данные в ней противоречат друг другу.

Задача в)

Эта задача, решенная с использованием каждой пары данных, дает разные ответы, которые противоречат друг другу: Сережа сорвал 12 яблок, и Сережа сорвал 18 яблок. Таким образом, задача не имеет однозначного решения.

Однако, иногда случается так, что дети принимают полную задачу за задачу либо с лишними, либо недостающими данными.

Например:

1. Турист 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, потом 4 ч ехал на поезде, скорость которого в 12 раз больше, а оставшийся путь он проехал на автобусе за 8 ч. С какой средней скоростью двигался турист, если скорость автобуса равна 3/4 скорости поезда?

В этой задаче нужно найти скорости движения туриста на каждом из этапов пути, найти все расстояние, пройденное туристом, и разделить это расстояние на общее время в пути.

Однако, дети, видя скорость движения на каждом этапе, часто хотят найти не среднюю скорость за все время движения, а среднюю скорость на трех этапах, ища среднее арифметическое трех скоростей, т.е., по представлению детей данная задача является как бы задачей с избыточными (лишними) данными.

2. Через один кран бассейн заполняется за 15 часов, а через другой – за 10 часов. За сколько часов заполнится бассейн, если краны будут работать вместе?

При решении этой задачи нужно обозначить объем бассейна за 1, потом найти производительность 1-го крана и 2-го крана, потом результаты сложить. Но учащиеся начальной школы, не знакомые с обыкновенными дробями, посчитают эту задачу как задачу с недостающими данными.

Включение задач с лишними и недостающими данными в курс математики в начальных классах является и одной из составляющих формирования навыков контроля и самоконтроля младших школьников, на основе которых у учащихся в дальнейшем формируются критерии, позволяющие учащимся самостоятельно находить ошибки в решениях заданий (не только текстовых задач). К ним можно отнести следующие критерии:

• соотношение результата с действительностью;
• соотнесение полученного результата с данными задачи и сравнение с первоначально ожидаемым результатом;
• проведение операций в обратном порядке;
• исследование ответа в предельных ситуациях (что будет, если….);
• решение задания другим способом и сверка результатов;
• проверка хода решения с обращением внимания на следующее: а) все ли данные использованы; б) достаточно ли данных для решения; в) не нарушена ли логика решения; г) не используются ли в решении те сведения, которые не вытекают непосредственно из условия задачи; д) прослеживается ли логика решения.

Также можно предложить детям задачи с вопросом, в котором спрашивается то, что уже известно в задаче. Например: «На грядку высадили 15 кустов смородины и 5 кустов крыжовника. Сколько кустов крыжовника высадили?» Применение задач такого рода также позволяет ученикам глубже осмыслить понятие задачи, ее структуры.

Упражнения

1. Найдите в действующих учебниках математики задачи с недостающими данными. Как вы думаете, почему они расположены именно в разделе «Занимательные задачи»?

2. Дана задача: «Пальто, костюм и ботинки стоят 100 грн. Пальто стоит 50 грн., костюм 38 грн. Сколько стоят ботинки?» Сделайте схему разбора этой задачи. Переделайте эту задачу в задачу с недостающими данными; в задачу с лишними данными; в противоречивую задачу. Как все это отражается на схеме разбора задачи? В чем ценность таких задач? Какая из переделанных задач способна дать серию задач при работе с ней?